Matemática discreta Ejemplos

$6 x - 7 y = 20$ , $3 x + 5 y = - 7$

Paso 1

Resuelve $x$ en $6 x - 7 y = 20$ .

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Paso 1.1

Suma $7 y$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 20 + 7 y$

$3 x + 5 y = - 7$

Paso 1.2

Divide cada término en $6 x = 20 + 7 y$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $6 x = 20 + 7 y$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{6} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

$x = \frac{20}{6} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

$x = \frac{20}{6} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $20$ y $6$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $20$ .

$x = \frac{2 (10)}{6} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 3} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 3} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

Paso 1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$3 x + 5 y = - 7$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x + 5 y = - 7$ por $\frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$ .

$3 (\frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}) + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (\frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}) + 5 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{10}{3}) + 3 (\frac{7 y}{6}) + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{10}{3}) + 3 (\frac{7 y}{6}) + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$10 + 3 (\frac{7 y}{6}) + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + 3 (\frac{7 y}{6}) + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$10 + 3 (\frac{7 y}{3 (2)}) + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$10 + 3 (\frac{7 y}{3 \cdot 2}) + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$10 + \frac{7 y}{2} + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{7 y}{2} + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{7 y}{2} + 5 y = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $5 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$10 + \frac{7 y}{2} + 5 y \cdot \frac{2}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $5 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$10 + \frac{7 y}{2} + \frac{5 y \cdot 2}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 + \frac{7 y + 5 y \cdot 2}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{7 y + 5 y \cdot 2}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $7 y + 5 y \cdot 2$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $7 y$ .

$10 + \frac{y \cdot 7 + 5 y \cdot 2}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $5 y \cdot 2$ .

$10 + \frac{y \cdot 7 + y (5 \cdot 2)}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 7 + y (5 \cdot 2)$ .

$10 + \frac{y (7 + 5 \cdot 2)}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{y (7 + 5 \cdot 2)}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 + \frac{y (7 + 10)}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Suma $7$ y $10$ .

$10 + \frac{y \cdot 17}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{y \cdot 17}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $17$ a la izquierda de $y$ .

$10 + \frac{17 y}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{17 y}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{17 y}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{17 y}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$10 + \frac{17 y}{2} = - 7$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $10 + \frac{17 y}{2} = - 7$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{17 y}{2} = - 7 - 10$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.1.2

Resta $10$ de $- 7$ .

$\frac{17 y}{2} = - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$\frac{17 y}{2} = - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{17}$ .

$\frac{2}{17} \cdot \frac{17 y}{2} = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{2}{17} \cdot \frac{17 y}{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{17} \cdot \frac{17 y}{2} = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $17$ de $17 y$ .

$\frac{1}{17} \cdot (17 (y)) = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{17} \cdot (17 y) = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$y = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$y = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$y = \frac{2}{17} \cdot - 17$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $\frac{2}{17} \cdot - 17$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $17$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Factoriza $17$ de $- 17$ .

$y = \frac{2}{17} \cdot (17 (- 1))$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{17} \cdot (17 \cdot - 1)$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 \cdot - 1$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$y = 2 \cdot - 1$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - 2$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$y = - 2$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$y = - 2$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$y = - 2$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

$y = - 2$

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{10}{3} + \frac{7 y}{6}$ por $- 2$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{7 (- 2)}{6}$

$y = - 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{10}{3} + \frac{7 (- 2)}{6}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 14}{6}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $- 14$ y $6$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{2 (- 7)}{6}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 3}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{10}{3} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 3}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 7}{3}$

$y = - 2$

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 7}{3}$

$y = - 2$

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 7}{3}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{10}{3} - \frac{7}{3}$

$y = - 2$

$x = \frac{10}{3} - \frac{7}{3}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.3

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{10 - 7}{3}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.3.2.1

Resta $7$ de $10$ .

$x = \frac{3}{3}$

$y = - 2$

Paso 4.2.1.3.2.2

Divide $3$ por $3$ .

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, - 2)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(1, - 2)$

Forma de la ecuación:

$x = 1, y = - 2$

Paso 7